Thực đơn
Hàm_hyperbolic Mối quan hệ giữa các hàm hyperbolicTừ đó:
tanh ( − x ) = − tanh x {\displaystyle \tanh(-x)=-\tanh x\,\!} coth ( − x ) = − coth x {\displaystyle \coth(-x)=-\coth x\,\!} sech ( − x ) = sech x {\displaystyle \operatorname {sech} (-x)=\operatorname {sech} \,x\,\!} csch ( − x ) = − csch x {\displaystyle \operatorname {csch} (-x)=-\operatorname {csch} \,x\,\!}Theo quan hệ trên dễ thấy cosh x và sech x là các hàm chẵn; còn lại là các hàm lẻ.
arsech x = arcosh 1 x {\displaystyle \operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}} arcsch x = arsinh 1 x {\displaystyle \operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}} arcoth x = artanh 1 x {\displaystyle \operatorname {arcoth} \,x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}}Sin hyperbolic và cos hyperbolic thỏa mãn đẳng thức
cosh 2 x − sinh 2 x = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\,}tương tự như công thức lượng giác Pythagore: sin 2 θ + cos 2 θ = 1. {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.\!} . Do vậy ta cũng có:
tanh 2 x = 1 − sech 2 x {\displaystyle \tanh ^{2}x=1-\operatorname {sech} ^{2}x} coth 2 x = 1 + csch 2 x {\displaystyle \coth ^{2}x=1+\operatorname {csch} ^{2}x}Tang hyperbolic là nghiệm của bài toán giá trị biên phi tuyến[4]:
1 2 f ″ = f 3 − f ; f ( 0 ) = f ′ ( ∞ ) = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f\qquad ;\qquad f(0)=f'(\infty )=0}Người ta đã chứng minh rằng diện tích giới hạn bởi cung cosh x luôn luôn bằng chiều dài của cung đó:[5]
dien tich = ∫ a b cosh x d x = ∫ a b 1 + ( d d x cosh x ) 2 d x = do dai cung . {\displaystyle {\text{dien tich}}=\int _{a}^{b}{\cosh {x}}\ dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh {x}\right)^{2}}}\ dx={\text{do dai cung}}.}đặc biệt
cosh ( 2 x ) = sinh 2 x + cosh 2 x = 2 sinh 2 x + 1 = 2 cosh 2 x − 1 sinh ( 2 x ) = 2 sinh x cosh x {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\end{aligned}}}Và:
sinh x + sinh y = 2 sinh x + y 2 cosh x − y 2 cosh x + cosh y = 2 cosh x + y 2 cosh x − y 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh {\frac {x+y}{2}}\cosh {\frac {x-y}{2}}\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh {\frac {x+y}{2}}\cosh {\frac {x-y}{2}}\\\end{aligned}}}Và:
sinh x − sinh y = 2 cosh x + y 2 sinh x − y 2 cosh x − cosh y = 2 sinh x + y 2 sinh x − y 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh {\frac {x+y}{2}}\sinh {\frac {x-y}{2}}\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh {\frac {x+y}{2}}\sinh {\frac {x-y}{2}}\\\end{aligned}}}Nguồn tham khảo.[6]
với sgn là hàm dấu.
cosh ( x 2 ) = cosh ( x ) + 1 2 {\displaystyle \cosh \left({\frac {x}{2}}\right)={\sqrt {\frac {\cosh(x)+1}{2}}}} tanh ( x 2 ) = sinh ( x ) cosh ( x ) + 1 = sgn ( x ) cosh ( x ) − 1 cosh ( x ) + 1 = e x − 1 e x + 1 {\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)+1}}=\operatorname {sgn}(x)\,{\sqrt {\frac {\cosh(x)-1}{\cosh(x)+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}}Nếu x ≠ 0, thì
tanh ( x 2 ) = cosh ( x ) − 1 sinh ( x ) = coth ( x ) − csch ( x ) {\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh(x)-1}{\sinh(x)}}=\coth(x)-\operatorname {csch} (x)} [7]Thực đơn
Hàm_hyperbolic Mối quan hệ giữa các hàm hyperbolicLiên quan
Hàm hyperbol Hàm Hưng Hàm hyperbolic ngược Hàm hợp Hàm hằng Hàm Huy Hàm hủy (lập trình máy tính) Hàm Hiệp Hàm hermite Hàm hóaTài liệu tham khảo
WikiPedia: Hàm_hyperbolic http://books.google.com/books?id=hfi2bn2Ly4cC http://books.google.com/books?id=hfi2bn2Ly4cC&pg=P... http://www.google.com/books?q=arcsinh+-library http://math.stackexchange.com/q/1565753/88985 http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicFunctions.h... http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicTangent.htm... http://www.calctool.org/CALC/math/trigonometry/hyp... http://planetmath.org/encyclopedia/HyperbolicFunct... http://glab.trixon.se/ https://web.archive.org/web/20071006172054/http://...